واکنش های هسته ای

توضیحات

عنوان تحقیق: واکنش های هسته ای  .    

تعداد صفحات:  55 صفحه .    

نوع فایل: ورد .      

 شامل کلیه فرمول ها و عکسهای موضوع واکنش های هسته ای …

بخشی از محتوای این فایل را در ادامه مشاهده می فرمایید :

 

 

 

بخشی از متن مقاله :

به نام خدا

 

 

عنوان مقاله :

واکنش های هسته ای

 

 

تعداد صفحه:

55

 

واکنش های هسته ای :

مقدار کمی از دانش ما در مورد خصوصیات هسته مشتق شده از واکنش های هسته ای  می با شد وقتی که ذره به هسته هدف بر خورد می کند. نتیجه وابسته به ترکیب سه عامل می باشد که مکانیسم واکنش ، تعامل بین انتشار وهدف وتعامل  ساختار داخلی از هسته را شامل می شود . بررسی های مکمل مختلف با یکدیگر ازتحقیقات به دست آمده علاوه برآن که اغلب ممکن است برای بمباران انرژی انتخاب شود ، واکنش در چنین مسیری می تواند بر روی جنبه های خاصی از موضوع متمرکز شود مادراین فصل با مثالهای به آن اشاره خواهیم کرد .

واکنش هسته موضوعات عمده مربوط به خود راداراست ما تنها به موضوعات مهمی خواهیم پرداخت . به منظور روشن شدن موضوعات  پایه ممکن است ضرورت داشته باشد که به جزئیات بحث بپردازیم ازاین رو برای تعدادی از موضوعات مانند انتشار کلمب موضوعات خواصی را بررسی می کنیم که مربوط به مکانهای مناسب برای تعدادی از توسعه های سریع موضوعات مطالب اخیر با اطلاعات قبلی تهیه شده است .

1-8  ارتعاش کلمب :

وقتی که انتشار صورت می گیرد بار متناسب با z e   که شامل پروتون های هدف Z می باشد. مقاومت میدان کلمب بین آنها ممکن است به وسیله ویژگی  تعدادی معادلات باشد . (64-4)

 

از این رو سرعت یک ذره تناسب بین فاصله های زیاد وa ثابت ساختار ریز مناسب می باشد . فاصله نزدیک توسط شرایط زیر به دست آمده است .

 

 

ازاین روµ جرم کاهش یافته انتشار درموضوعات درنتیجه می باشد.

 

ازاین عبارت ما ملاحظه می کنیم که تعدادی از بررسی ها نسبت بین  وکاهش طول موج بروگلی می باشد.

 

کوچک بدان معنی است که میدان کلمب درمقایسه باانرژی جنبشی موجوددرانتشارضعیف تراست. تحت چنین شرایطی تابع موج فرودی به مقدارزیادی توسط میدان کلمب اصلاح نشده وبطورتقریبی بکارمی رود. درارتعاشات کلمب به هرحال به طور معمول درجهت مخالف جالب توجه است با  دراین مورد دوذره هرگز به اندازه کافی به یک دیگر نزدیک نمی باشندکه برای نیروی هسته ای نقش بازی می کند

وارتعاش هدف یاهسته های انتشاریافته از طریق برهم کنش کلمب کامل می شود. مثلا  چنین فرایندهایی ارتعاش کلمب شناخته شده است. زیرا علاقه ذاتی آن درتعدادی از متن های کوانتوم استاندارد مانند مرزباچر (103)ومسی(104) مورد بحث قرار داده شده است.

چندین دلیل برای انتشار کلمب در فیزیک هسته ای جالب توجه است. درابتدا مکانیسم واکنش شناخته شده که ممکن است علی رغم آن ضرورت داشته باشد عکس واپاشی الکترومغناطیسی است که در 3-5 بحث شده است.در حالت دوم به صورت تجربی میدان کلمب خیلی قوی می باشد و با بمباران هسته ای ایجاد شده باپرتو یون های سنگین ایجاد شده است.درپایان وقتی این مزایا بادقت جفت شوند می توان در آزمایش بارذره را  بدست آورد. ما ابزار قوی برای بررسی خصوصیات خاص هسته ای در اختیار داریم.

بسط چند قطبی:

ما بایستی به دنبال روش استفاده شده دررابطه 3-5 و برهم کنش الکترومغناطیسی اصلاح شده بین انتشار وهدف اختلال هسته درمورد هامیلتون باشیم . عوامل دخیل در ارتعاش کلمب ممکن بصورت زیرنوشته می شوند :

 

ازاین رو(t)  محل انتشاردرزمان t وr از هسته های هدف می باشد. ضرورت مسیر عوامل دخیل از موضوع تک قطبی آنها انحراف انتشار بدون ارتعاش درجات داخلی آزادی می باشد. برای سادگی ما نبایستی نگران این موضوع باشیم که درناحیه   عوامل اختلال H′ (t) ممکن در بسط موضوع هماهنگهای کروی با استفاده ازاین رابطه باشد

 

 

که اخیراٌ دررابطه 6-4 تفکیک شده است .در عبارت بالا کمیت هدف حالت پایدار وشکل دارای           (    وتشابه  وعملیات برای Eλ وارتعاش بدست آمده در معادله (25-5) می باشد. ما مزایای این تشابه را برای ارتباط بین ارتعاش کلمب و واپاشی الکترومغناطیسی بدست آوردیم . علاوه بر آن واکنش ارتعاش الکترونی هسته دررابطه 1-4 بحث شده است، از این رو انتشارناشی از اولین برهم کنش  الکترومغناطیسی بخش سطح مقطع متناسب با نقطه انتشار ذره می باشد. اثرات هسته وارد شکل عوامل اصلاح شده بطور خالص در نتیجه نقطه ذرات خالص می باشد .

دراین مسیر انتشار کلمب سطح مقطع از حالت اولیه  به حالت نهایی fممکن ، بصورت زیر بیان می شود :

 

ازاین رو  اسپین اولیه هسته هدف و  و  به ترتیب انتشار اولیه ونهایی اسپین برروی محورتدریج (quantization) می باشد. ریشه مربع ثابت متناسب با عبارت زیر به دست آمده است:

 

ادغام ممکن در دوبخش نوشته شود ماتریس انتقال هسته ای عنصر وادغام مستقل از حالت هسته ای شامل می شود عبارت جانشینی معادله 2-8 واردH′(t) تولید مجموعه محصولات به شکل زیر می باشد :

 

عنصر ماتریسی  وابسته به سطح مقطع توابع موج هسته ای و انتقال وکاهش احتمال برای انتقال  E  درمعادله 28-5 بدست آمده است ادغام زمانی حاوی عوامل  وممکن بصورت زیر بیان می شود:

 

ازآنجا که هارمونیک کروی درانتگرال داریم، انتگرال یک تابع از پراکندگی زاویه است؛ بااین حال مستقل از توابع موج هسته ای است . مشتق   براساس معادله ساده وکافی مراحل واقعی پیچیدگی جفت همزمان لحظه ای می باشد . شکل نهایی توسط آلدر (Alder) بدست آمده است و بصورت رابطه زیر بیان می شود :

 

ازاین رو  پارامتر آدیاباتیک درارتباط با انرژی مورد نیازبرای ارتعاش هسته های هدف به شکل حالت اولیه -در انرژی  به حالت نهایی  می باشد .

 

به شکل انتگرال  زیر می باشد :

 

از اینرو  می باشد

هماهنگ های کروی درمعادله 8-4  با  و   ممکن است صریحا درشرایط λ و  نوشته شده باشند.

 

در غیر اینصورت 0 است.

دیفرانسیل پراکندگی سطح مقطع  برای انتشار کلمب در معادله 8-3 کاهش می یابد.

 (

از این رو a=  نیمی از فاصله نزدیک در معادله 1-8 می باشد زاویه وابسته در دیفرانسیل ترکیب شده است

 

در حالت ادغام شده :

 

ارتعاشات کلی سطح مقطع در حد کلاسیک می باشد. مقدارانتشار برای تفاوت مرتبه چند قطبی در شکل 1-8 برای مورد حد نشان داده شده است .

 

و در بخش دیگری از این مقاله میخوانیم …

8 واکنش هسته ای مزون : برهم کنش مزون ها با هسته و نوکلئون های فراهم شده با یک روش شناخته شده مبادله مجازی مزون ها بین نوکلئون ها می باشد. ما ملاحظه کردیم که اخیراٌ در6-3 و9-3 مانند مبادلات مسئول برای بخش های بلند مدت طیف و حد واسط از پتانسیل هسته ای می باشد پراکندگی مزون  همچنین جالب توجه است از نقطه نظر آنها بوزون  ها می باشد. از این رو بوزون ها می توانند جذب شوند ودرواکنش نیز ایجاد می شوند. ما انتظار داریم که یادگیری چیزهای جدید در مورد پراکندگی نمی توان با باریون ها  و لپتون ها بدست آورد. بخش ادغام از مطالعات پراکندگی هسته هادرون  واشکال عناصر ضروری شناخت ما از هادرون ها می باشد. ازلحاظ تجربی منابع قوی از پیون های موجود از عوامل مزون ها مانند LAMPF/SIN ( تحقیقات هسته ای موسسه ای در سوییس)و TIRUMF دو ویژگی خاص برای پراکندگی پیون می باشد. در ابتدا رزونانس  محصولات ذره از نوکلئون ، پیون می باشد. همانطورکه در 6-2 ملاحظه گردید مقاومت این رزونانس درانرژی آزمایشگاهی پیون از 195 مگاالکترون ولت است به طوری که بیش از واکنش های هسته ای- پیون واکنش ها در انرژی کمتراز چندین هزار مگاالکترون ولت توسط شکل گیری ذرات غالب می باشد. در حالت دوم پیون ها دارای هر سه حالت  می باشد بطوریکه نتیجه مبادله بار منفرد دارای بار دوگانه واکنش های مبادله ای ممکن می باشد. واکنش های هسته ای پیون انجام شده در انواع مسیر ها شامل جذب پیون پراکندگی کشسان وپراکندگی غیرکشسان  است که واکنش های مبادله بار انجام می شود .

جذب پیون  : دو نوع مختلف از مطالعات جذب پیون وجود دارد که می توان پیون ساکن ایجاد کرد ویا پیون سریع می باشد. به منظور افزایش احتمال پیون جذب شده اغلب به کندی واپاشی کرده وبه اندازه کافی درصورت ضرورت با توجه به هسته ساکن می باشد. یک مسیر توقف دستیابی اولیه به مداراتی به شکل اتم  به مزیک می باشد. اگرممکن باشد اتفاق بیفتدکه  درحالت اولیه انتقال تراز بالای اتم یک مدار الکترونیک می باشد. اگراین واقعیت داشته باشد، پیون منفی به طور اتفاقی در حالت آبشار نزولی  وخوابیدگی اندک مداراز طریق واپاشی الکترومغناطیسی است. از این رو جرم پیون بیشتر ازالکترون می باشد  شعاع بوهر خیلی کمتراست. درنتیجه تابع موج خوابیدگی  در اتم به طور معنی دار همپوشانی با هسته ها ملاحظه شده است که اخیراٌدر شرایط  مقایسه با اتم های  muonic  در 5-4 می باشد. بهرحال هادرون دارای رفتار پیون کاملا متفاوت از میون به ویژه در محیط هسته ای می باشد. زیرا برهم کنش قوی پیون آماده جذب توسط هسته بوده ونزدیکی کافی برای نیروی کوتاه برد موثر می باشد. وقتی که  جذب شود کلیه انرژی جرم سکون در حدود 140 مگاالکترون ولت انتقال هسته درشکل انرژی برانگیختگی می باشد. از این رو این مقدار16 برابرمتوسط انرژی قیدی نوکلئون در هسته هاست. برای نوکلئون منفرد مشکل می باشد وبه مقدار کامل وپایستگی انرژی وتکانه یکسان می باشد. بنابراین احتمال دارد که خوشه ای از نوکلئون ها مانند خوشه ذره  را شامل می شود در حالت جایگزین درجات داخلی آزادی در بین هسته ممکن است به ارتعاش در آید. حتی فکر می کنیم که پیک رزونانس انرژی پایین تر کانال  که هنوز با آن فاصله داردامکان اندک باقی مانده شایسته توجه می باشد .

در مقابل پیون ساکن برای جذب پیون سریع امکان تعریف واکنش شامل پیون فرودی وبدون پراکندگی پیون باشد.

 

از این رو ذره فرودی حمل شده هر دو انرژی وتکانه با آن دوباره غیر ممکن بوده وبرای نوکلئون منفرد در هسته جذب شده پیون وپایستگی انرژی وتکانه یکسان می باشد از مقدار نسبی سطح مقطع جذب شده در واکنش می باشد.

 

مامی توانیم نتیجه گیری کنیم که فرایندهای دو نوکلئونی در جذب پیون سریع اهمیت دارد که توسط هسته باشد.این ایده مطابق با مقدار نسبی جذب شده برای واکنش ها برروی هسته در حالت کلی می  باشد. از این رو شامل دونوکلئون پیون سریع جذب وحساسیت به پیوستگی دو ذره درهسته ودر نتیجه یکی از روش های چنین مطالعاتی می باشد بررسی دقیق موضوع دریافت شده در Ashery  وSchiffer می باشد.

در مقابل جذب پیون ،تولید(پراکندگی) پیون می باشد. وقتی که هسته بمباران می شود، الکترون ها وپروتون ها بادیگر ذرات پیون تولید میشوند. اگر انرژی کافی موجود باشد واکنش معمولا در حالت های نهایی با سه یاذرات بیشتر نتایجی دارد. علاوه برآن مقدار دیگر کانال موجود همچنین در این انرژی ها باز می باشد. در نتیجه هردو اندازگیری وآنالیز پیچیده می باشد. به این دلیل ما بیشترنگران چنین واکنش های می باشیم برای مثال از تولیدپیون سطح مقطع در پراکندگی نوکلئون – نوکلئون در شکل 5-8 نشان داده شده است.

پراکندگی پیون : مطالعات پراکندگی پیون از سه مقوله ناشی میشود: پراکندگی کشسان،ناکشسان و واکنش های مبادله بار منفرد  ومبادله بار دوگانه  می باشد.در حالت جایگزین چون از رزونانس قوی  ، اندازه گیری ها اغلب ناشی از 3 گروه هستند .وابستگی یا به انرژی زیر رزونانس یا روی رزونانس و یا بالای رزونانس می باشد.ما قبلا در رابطه  دیدیم که اگر در روی رزونانس انرژی قوی باشد با افزایش از  و    سطح مقطع ها بالای آنها برای پراکندگی    و      می باشد.این امکان پذیر است برای استفاده در پراکندگی پیون برای توزیع بین نوترون و پروتون چگالی توزیع در هسته ها است. 

ما عمدتا علاقه مندیم در اینجا به جنبه هایی از پراکندگی هسته –پیون بپردازیم . انرژی هایی که کمتر از 50 مگا الکترون ولت اند خیلی زیر رزونانس  هستند. برهم کنش متوسط از پیون ها با هسته ممکن است به نمایندگی مدل پتانسیل اپتیکی باشد.چندین راه ممکن متفاوت برای ایجاد کردن پتانسیل متوسط برای پراکندگی پیون – هسته وجود دارد. نمونه ای از آن توسط Stricker,Carr,Mc Manus ارایه داده شده است.این حالت برای این واقعیت که در انرژی های پایین پراکندگی به واسطه امواج جزیی s ,p غالب است، مورد استفاده قرار می گیرد.

اجازه دهید که به بررسی اولیه دامنه برای پراکندگی هسته –پیون در یک حد که فقط امواج s,p در آن مشارکت می کنند ، بپردازیم.پیون ها دارای ایزو اسپین  وشبه بردار ذرات   می باشند.دامنه پراکندگی نوکلئون – پیون ممکن است در موضوعاتی از عملگر ایزواسپین t برای پیون و  برای نوکلئون بیان شودو تقریبا به صورت زیر است :

 

از این رو  kو k′ به ترتیب بردار های عدد موج پیون اولیه ونهایی می باشند. ضرایب   ,  در ارتباط با پراکندگی موج s از نوکلئون به دنبال جذب برروی نوکلئون مجاور می باشند .

وضرایب  و   در ارتباط با تطابق فرایند موج p  می باشند. این ضرایب در کل پیچیده هستند. پیون ها  می توانند توسط نوکلئون ها جذب شوند. امکان یافتن مقدار آنها وجود دارد. برای مثال محاسبه مناسب نتایج داده های تجربی برروی اتم های  باشد .

مدل پتانسیل اپتیکی پیون – هسته تولید کننده دامنه پراکندگی از شکل معادله 54-8 ممکن بصورت عملگر زیر بیان شود:

 

از این رو  جرم کاهش یافته پیون می باشد که دارای عوامل سینماتیک زیر می باشد

 

از تبدیل چارچوب های مرجع در تماس با مرکز جرم از سامانه نوکلئون – پیون وسیستم هسته – نوکلئون می باشد که در آنها توابع انرژی کل پیون  وجرم نوکلئون  می باشد. دیگر عوامل شامل

 

 

 

امکان دارد وابسته به بار پیون قرارگیرد. نوترون وپروتون وچگالی نوکلئون ها در هسته ها   می باشد و به ترتیب  A,Z,N  بهنجار شده می باشند.

 

در یک بخش دیگر این مقاله آمده است :

 

از این رو ما از این واقعیت استفاده می کنیم  سطح مقطع برای واکنش از کانال ورودی  کانال موجود  در معادله 7-8 بدست آمده است وممکن  است بصورت زیر نوشته شود .

 

این در واقع فرمول یک سطحی برویت – وایگنر نامیده می شود .

همپوشانی رزونانس ها :

تا کنون بحث شکل گرفته در منطقه کم انرژی چگالی حالات اندک می باشد و ایده فرمول هسته ترکیبی بکار می رودهمچنین انرژی بالاتراز اینرو سطح اختصاصی درعرض مقایسه ای برای افزایش نسبت به فضای سطح متوسط می باشد   از این رو همپوشانی رزونانس یکدیگر بیشتر معنی داروبرای بررسی متوسط سطح مقطع مختلف وارد پراکندگی می شود .

فرض می شود که سطح مقطع برای شکل ترکیبی هسته برای حالت خاص هنوزشکل بریت –وایگنردرمعادله14- 8 تعریف متوسط در انرژی اندک فاصله W در مسیر زیر می باشد

 

از اینرو عرض کلی رزونانس ام و  عرض جزئی برای واپاشی وارد کانال α می شود. مجموع فراتراز کلیه رزونانس ها درانرژی وقفه W در مرکز E می باشد فاصله اغلب انرژی اندکی دارد وتحت شرایط برای رزونانس متفاوت از یکدیگر وهنوزمقدار بزرگتری دارد بطوریکه  می باشد بحث ما هنوز محدود به پراکنندگی موج s برای سادگی می باشد ما در اینجا علاقه ای به تلاش برای بحث کلی شامل تکانه زاویه ای عوامل جفت شدگی نداریم.

استفاده از این واقعیت که تعدادسطوح در فاصله بدست آمدهW/D است. از این رو D سطح متوسط فضای تعریف شده عرض میانگین می باشد .

 

کمیت شناخته شده است (موج – S ) عملکرد مقاومت وترکیب متوسط شکل گیری هسته سطح مقطع ممکن درموضوعات زیر بیان می شود .

 

این کمیت ممکن است در ارتباط با  باشد. انحراف لگاریتمی تابع موج در  توسط معادله 9-8 بدست آمده است. از این رو چگالی حالت بالا می باشد واحتمال برای هسته های ترکیب شده برای واپاشی از طریق کانال ورودی اندک می باشد ما بیان کردیم که هسته ها بنظر می رسد برای کانال مجاور مشکی باشد .

درحد مجاز هسته های جذبی کامل تابع موج منطقه درونی وبطور تقریبی موضوع دستیابی بهتقریب به تنهای در نتیجه  تصور خالص ممکن بصورت زیرنوشته شود .

 

از اینرو K عدد موج برای  می باشد.  برروی جانشینی این مقدار وارد معادله 10-8 و 11- 8 برای دستیابی به مقدارمتوسط هسته های ترکیبی وشکل گیری سطح مقطع برای کانال α منطقه انرژی می باشد.

 

ازاینرو K k برای افت انرژی پراکندگی از پتانسیل جذب مقایسه این عبارت با معادله 15- 8  برای دستیابی به این نتیجه می باشد:

 

علاوه برآن بدون رزونانس از معادله 16 -8 انتظار می رود این ناشی از جفت اولیه از تعداد زیاد رزونانس اندک برای نمونه حالت در مجاورت و با قدرت حالت نوسان اغلب برای حالت مسیرخروجی نامیده می شود .

واپاشی هسته های ترکیب در منطقه بالای انرژی وابسته به تعدادقابل دستیابی به حالت نهایی وبنابراین غالب چگالی حالت پایانی ودیگر ملاحظات آماری می باشد. بنابراین موضوع تئوری هاوسر _ فش باخ برای خواندن مستندات بنیادی می باشد.

واکنش جمع آوری وگسترش : نمونه مناسب  واکنش مستقیم فرایندهای (d,p) درالکترون زدایی با بیشترازچندین مگا الکترون_ولت از انرژی جنبشی مجاور برروی هسته های هدف می باشد . در کانال خروجی پروتون مشاهده شده است از این رو الکترون زدایی باواپاشی سیستم مقید از پروتون ونوترون صورت می گیرد مامی توانیم بادستیابی به نوترون وارد یکی از مدارهای تک ذره ای ازهسته های هدف بدون توزیع باقی مانده هسته ها وپروتون ها پیوسته برروی ذرات پراکندگی کنیم، فرایند های ممکن در نوترون گرفتار شده درانتشار مشاهده می شوند. به این دلیل واکنش شناخته شده در یک واکنش گسترش نوترون می باشدحالت ها در هسته های پایانی با قدرت به نوسان در آمده مانند واکنش شکل گرفته بطور قالب توسط هسته جفت شده برای حالت زمینه از هسته هدف می باشد. دیگر واکنش های تثبیت مانند (t , p) انتقال دو هسته از انتشار بر روی هدف می باشد حتی بیشتر واکنش های پیچیده مانند انتقال خوشه هسته ممکن می باشد .

کیفیت واکنش مستقیم در هردو هسته هدف وساختار داخلی انتقال خوشه اغلب عدم توزیع واکنش می باشدهسته های باقی مانده به سادگی جفت محصول خوشه وحالت زمینه هسته هدف می باشد این شرایط به طور کلی مشکلات رسیدن به انتقال واکنش شامل تعداد زیادی هسته می باشد.

موئلفه واکنش زنجیره ای واکنش برداشت می باشد در این مورد بیشتر از یک هسته برداشت از هسته هدف تغییر ساختار در بین هسته های باقی مانده می باشد. مثال مناسب واکنش  40Ca( 3 He, 4 He) 39 Ca می باشد حالت در هسته باقی مانده39 Ca وانتشار قوی توسط واکنش برداشت حالت یک حفره می باشد. شکل حذف یکی از ذرات در 40 Caوترک 39 هسته باقی  مانده بدون باردر حرکت نسبی آنها می باشد.

 

تقریب بورن :

سطح مقطع پراکندگی بخشی از واکنش مستقیم زنجیره ای برداشت ممکن دستیابی  به استفاده از تقریب بورن اولیه می باشد مکانیسم واکنش طولی مستقیم می باشدزیرا واکنش مستقیم نسبی رابطه ساده بین حالات هسته نهایی واولیه تحت فرض واکنش مستقیم می باشد معادله اسکرول لینگر برای فرایندهای ممکن در شکل نوشته شده استاندارد معادله اولیه متفاوت مرتبه دوم می باشد .

 

از این رو با E انرژی جنبشی سیستم مرکزجرم می باشد راه حل کلی معادله 17- 8 برای عملکرد موج ممکن بیان تابع گرین(r,r′)  G در رابطه B-6 می باشد .

 

از این رو انتخاب Ki به موازات مستقیم ذره مجاور و تابع  در راه حل بخش همگن معادله 17-5 برای   می باشد .

ما بایستی تابع گرین را به شکل زیر نشان دهیم  ومعادله مناسب به این صورت می باشد

 

(  

بطور کلی ما می توانیم معادله تابع را برای G(r,r′) در بخش v(r) تعریف کنیم برای مثال بخشی ازنشان دادن اثرات متوسط هسته هدف برروی ذره مجاور می باشد این مشابه با ذرات روش میدان میانگین استفاده شده در ساختار نامشخص تحقیقات برای دستیابی به حالت ذره منفرد برای محاسبات مدل دررابطه 3-7 می باشد بحث ساده در مورد تابع گرین دارای شکل اولیه در معادله 19- 8 می باشد .

استفاده از معادله 19 – 8 راه حل کلی برای پراکندگی تابع موج از معادله 8-18 بصورت زیر نوشته می شود .

 

طیف پتانسیل V(r′) کوتاه می باشد اثرات طیف بلند برهم کنش کلمب ممکن شامل بخشی از تابع گرین یا مدل اپتیکی پتانسیلی شده در بخش بعدی می باشد در این حد مجاز ممکن بطور تقریبی تابع نمایی در ناحیه بدون نشانه در دو موضوع درحال گسترش می باشد .

 

 

 

از این رو  در راستای جهت ذره پدیدارشده می باشد. راه حل رسمی معادله پراکندگی به صورت زیر می باشد :

 

 ازاین رو |r-r′| r بادقت در ناحیه بدون نشانه ازW ذره پراکندگی مشاهده شده است .

مقایسه معادله (20- 8) با شکل تقارن از تابع موج در معادله 5B- با تقویت بدست آمده است .

 

این تنها معادله رسمی وادغام شده راه حل برای تقویت عبارت شامل تابع مجهول   می باشد. از نظر گسترش سطح مقطع در موضوعات مجموع Born با تقریب شناخته شده تابع (r′) در معادله            21 – 8 جایگزین موضوع اولیه در معادله 18 – 8 ودستیابی به شکل تقریبی تقویت پراکنش می باشد .

 

این نتیجه ممکن برای جبران کردن سطح مقطع پراکندگی متفاوت بر واکنش های زنجیره ای بکار می رود .

عبارت در معادله 22 – 8 به سادگی بیشتر بیان نتایج در موضوعات بردار انتقال همزمان می باشد.

 

 وگسترش موج فضایی در موضوعات هماهنگ های کروی در معادلهB-10 آمده است.

 

 از این رو   تابع بسل کروی از مرتبهl  می باشدزاویه  بین بردار های q  و r′ ویکی از متغیر ها از ادغام در معادله 22 – 8 می باشد . زاویه پراکندگی   بین بردار های  و  به بیان دیگر می باشد .

توزیع زاویه ای :

بحث در پاراگراف قبلی چشم پوشی از ساختار داخلی ذرات مشارکت کننده در پراکندگی بود. از این رو واکنش های زنجیره ای در ارتباط با تغییردر هسته می باشند . توابع موجی در هردو هسته اولیه ونهایی اغلب عبارت برای تقویت پراکندگی می باشد.

اشکال نامتقارن توابع موجی اولیه ونهایی سیستم پراکندگی به صورت زیر می باشد :

 

 

از این رو  محصول توابع موج داخلی ذره مجاور وهسته های هدف و  از توابع موجی ذره پراکنده شده وهسته های باقی مانده می باشد سادگی بحث های بعدی امواج فضایی exp(i )   وexp(i  r)   استفاده در توصیف حرکات ذره به ترتیب می باشد کانال مجاور موجود از لحاظ فیزیکی بدان معنی است که فرض ذرات بدون برهم کنش با یکدیگر ( به استثناءمنطقه کوچکی از ناحیه واکنش ) بایستی ملاحظه کرد که در بخش بعدی قابل قبول می باشد که باتوجه به اثرات بر هم کنش کلمب از مدل اپتیکی استفاده می شود.

نمونه مناسب مورد 40 Ca(d , p) 41 Caمی باشد برای واکنش زیر آمده است .